Definicja ciągłości funkcji. Przykłady
Definicja 1: Otoczenie punktu na prostej liczbowej
Otoczeniem \( U \) punktu \( x_0\in \mathbb{R} \) nazywamy każdy przedział otwarty zawierający ten punkt.
Otoczeniem punktu \( x_0 \) o promieniu \( r \) nazywamy przedział \( U_{(x_0,r)}=(x_0-r,x_0+r) \).
Otoczenia jednostronne punktu \( x_0 \) to odpowiednio:
- otoczenie lewostronne punktu \( x_0 \): \( U_{(x_0^-,r)}=(x_0-r,x_0] \)
- otoczenie prawostronne punktu \( x_0 \): \( U_{(x_0^+,r)}=[x_0,x_0+r) \)
Definicja 2: Ciągłość funkcji w punkcie
Niech funkcja \( f \) będzie określona w pewnym otoczeniu \( U_{x_0} \). Mówimy, że funkcja \( f \) jest ciągła w punkcie \( x_0\in D_f \) wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są dwa warunki:
- istnieje granica \( \lim\limits_{x\to x_0}f(x) \),
- granica ta jest równa wartości funkcji w punkcie \( x_0 \), czyli \( \lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) \).
Definicja 3: Ciągłość jednostronna
Niech funkcja \( f \) będzie określona przynajmniej w prawostronnym otoczeniu punktu \( x_0 \).
Mówimy, że funkcja \( f \) jest prawostronnie ciągła w punkcie \( x_0\in D_f \) wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są dwa warunki:
- istnieje granica prawostronna \( \lim\limits_{x\to x_0^+}f(x) \)
- granica ta jest równa wartości funkcji w punkcie \( x_0 \) czyli \( \lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0) \)
Niech teraz funkcja \( f \) będzie określona przynajmniej w lewostronnym otoczeniu punktu \( x_0 \).
Mówimy, że funkcja \( f \) jest lewostronnie ciągła w punkcie \( x_0\in D_f \) wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są dwa warunki:
- istnieje granica lewostronna \( \lim\limits_{x\to x_0^-}f(x) \)
- granica ta jest równa wartości funkcji w punkcie \( x_0 \), czyli \( \lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0) \).
Twierdzenie 1: O związku ciągłości w punkcie z ciągłością jednostronną w tym punkcie
Funkcja określona w otoczeniu \( U_{x_0} \) jest ciągła w punkcie \( x_0 \) wtedy i tylko wtedy, gdy jest w tym punkcie lewostronnie i prawostronnie ciągła.
Definicja 4: Ciągłość funkcji w przedziale
Funkcja \( f \) jest ciągła w przedziale otwartym \( (a,b) \), jeżeli jest ciągła w każdym punkcie tego przedziału.
Funkcja \( f \) jest ciągła w przedziale domkniętym \( [a,b] \), jeżeli jest ciągła w każdym punkcie wewnątrz tego przedziału oraz jest prawostronnie ciągła w punkcie \( a \) i lewostronnie ciągła w punkcie \( b \).
Funkcja \( f \) jest ciągła w dowolnym zbiorze \( A \) jeżeli jest odpowiednio ciągła w każdym punkcie tego zbioru.
Funkcja jest ciągła, jeśli jest ciągła w całej swojej dziedzinie.
Twierdzenie 2: O ciągłości funkcji elementarnych
Wszystkie funkcje elementarne są ciągłe w swoich dziedzinach naturalnych.
Przykład 1: Badanie ciągłości funkcji w zadanym punkcie
Zbadamy ciągłość funkcji \( f \) w punkcie \( x_0=0 \).
Dana jest funkcja
\( f(x)=\left\{\begin{array}{lll}{\sin 3x\over x} & \textrm{ dla }x > 0 \\x^2+x+3 & \textrm{dla }x\le 0 \end{array}\right.{ } \quad x_0=0 \)
Rozwiązanie
Zgodnie z definicją ciągłości funkcji w punkcie musimy sprawdzić, czy istnieje granica funkcji w punkcie \( x_0 \) i czy jest ona równa wartości funkcji w tym punkcie. Aby sprawdzić istnienie granicy \( \lim\limits_{x\to 0}f(x) \) musimy tutaj obliczyć granice jednostronne funkcji \( \lim\limits_{x\to 0^+}f(x) \), \( \lim\limits_{x\to x_0^-}f(x) \), gdyż funkcja w otoczeniu punktu \( x_0 \) jest dana dwoma wzorami: inaczej w lewostronnym, a inaczej w prawostronnym otoczeniu punktu \( x_0 \).
\( \lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}(x^2+x+3)=3, \)
\( \lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}{\sin 3x\over x}=\lim\limits_{x\to 0^+}{\sin 3x\over 3x}\cdot 3=1\cdot 3=3 \).
Z równości granic jednostronnych wynika istnienie granicy, czyli pierwszy warunek ciągłości jest spełniony. Zauważmy, że obliczając granicę prawostronną skorzystaliśmy ze znanej granicy wyrażenia nieoznaczonego \( \lim\limits_{x\to 0}{\sin 3x\over x}=3 \). Z istnienia tej granicy wynika istnienie i wartość odpowiedniej granicy jednostronnej.
Obliczymy wartość funkcji \( f \) w punkcie \( x_0=0 \).
\( f(0)=0^2+0+3=3. \)
Przykład 2: Badanie ciągłości funkcji w zadanym punkcie
Zbadamy ciągłość funkcji \( f \) w punkcie \( x_0=1 \) gdzie
\( f(x)= \begin{cases}x^2 & \textrm{dla } x<1 \\5 & \textrm{dla } x=1 \quad x_0=1 \\2-x^2& \textrm{dla }x>1\end{cases} \)
Rozwiązanie
Podobnie jak w poprzednim przykładzie, badamy istnienie granicy funkcji w punkcie \( x_0 \) za pomocą granic jednostronnych.
\( \lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^-}(x^2)=1, \)
\( \lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 1^+}(2-x^2)=2-1=1. \)
Granice jednostronne są sobie równe, istnieje więc granica funkcji \( f \)
\( \lim\limits_{x\to 1}f(x)=1, \)
zatem pierwszy warunek definicyjny ciągłości jest spełniony.
Wartość funkcji w punkcie \( x_0=1 \) nie jest równa granicy funkcji w tym punkcie, gdyż
\( \lim\limits_{x\to 1}f(x)=1\neq f(1)=5, \)
zatem nie jest spełniony drugi warunek definicyjny ciągłości funkcji w tym punkcie.
Przykład 3: Badanie ciągłości funkcji w zadanym punkcie
Zbadamy ciągłość funkcji \( f \) w punkcie \( x_0=1 \) gdzie
\( f(x)=\left\{ \begin{array}{lll}arctg{1\over x-1} & \textrm{dla } x\neq 1\\0 & \textrm{dla }x=1 \end{array}\right. \quad x_0=1 \)
Rozwiązanie
Badamy istnienie granicy funkcji \( f \) punkcie \( x_0=1 \). W przeciwieństwie do poprzednich przykładów tu funkcja dana jest tym samym wzorem zarówno dla \( x < 1 \), jak i dla \( x>1 \), możemy więc zapisać
\( \lim\limits_{x\to 1}f(x)=\lim\limits_{x\to 1}arctg {1\over {x-1}} \)
Mianownik wyrażenia \( 1\over {x-1} \) dąży do zera gdy \( x\to 1 \). Jak zawsze w takiej sytuacji musimy zbadać, czy dąży on do zera po wartościach dodatnich czy ujemnych. Zauważamy, że dla \( x>1 \) mamy \( x-1<0 \), czyli mianownik dąży do zera po wartościach ujemmnych, więc wyrażenia \( 1\over {x-1} \) dąży do minus nieskończoności. Gdy \( x>1 \) wówczas \( x-1>0 \) i rozumując analogicznie stwierdzamy, że \( 1\over {x-1} \) dązy do plus nieskonczoności. Aby kontynuować obliczanie granicy funkcji musimy przejść na granice jednostronne.
\( \lim\limits_{x\to 1^-}arctg{1\over x-1}=-{\pi\over 2},\qquad\qquad \lim\limits_{x\to 1^+}arctg{1\over x-1}={\pi\over 2} \)
Granice jednostronne funkcji są różne, więc nie istnieje granica funkcji \( f \) punkcie \( x_0=1 \).
Nie jest spełniony pierwszy warunek definicyjny ciągłości, więc funkcja \( f \) nie jest ciągła punkcie \( x_0=1 \).